જો $\vec{p}$ અને $\vec{q}$ અસમાન એકમ સદિશો હોય કે જેથી $(\vec{p} - \vec{q}) \cdot ((2\vec{q} + \vec{p}) \times (3\vec{p} - \vec{q})) = |\vec{p} + \vec{q}|$ થાય,તો $\vec{p}$ અને $\vec{q}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો સદિશો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+a \hat{j}+a^{2} \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+b \hat{j}+b^{2} \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=\hat{i}+c \hat{j}+c^{2} \hat{k}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$ હોય,તો $abc$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને $p, q$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો સમાનતા $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] - [p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] - [2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 0$ કોના માટે સાચી છે?

ધારો કે $\vec{c}$ એ એકમ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય સદિશ છે અને $\vec{d}$ એ $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને લંબ એકમ સદિશ છે. જો $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] \vec{c} - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{a}$ તથા $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ હોય,તો $|\vec{c}| =$

ધારો કે $\vec{\lambda} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ અને $\vec{\lambda} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2(x + y + z)$ (જ્યાં $x + y + z \neq 0$),તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ શું થાય?

સહ-ધારાઓ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $3$ છે. તો સહ-ધારાઓ $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ષટ્ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ કેટલું થાય?